19.（17分）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a>b>0)$ 的焦距为4，且 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

(1) 求 $C$ 的标准方程；

(2) 设 $C$ 的右焦点为 $F$，经过点 $P(3,0)$ 且斜率非零的直线与 $C$ 交于 $M$，$N$ 两点，且 $M$ 在线段 $PN$ 上。 (i) 证明：直线 $FM$，$FN$ 的斜率之和为0； (ii) 若 $\angle FMN = 5\angle FNM$，求直线 $MN$ 的斜率。