19.（17分）

已知函数 \(f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x-ax^2-2x,\quad g(x)=2\ln x-x+\frac{1}{x}.\)

(1) 证明：当 $x>1$ 时，$g(x)<0$。

(2) 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围。

(3) 若 $a=0$，且 $b+\cos[\ln(1+\theta)]=f(\sin\theta)$，其中 $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，证明： \(b+2\sin\theta<2\tan\theta.\)