椭圆曲线加密算法运用于区块链

椭圆曲线 $C = {(x,y) \mid y^2 = x^3 + ax + b, 4a^3 + 27b^2 \neq 0}$。$P \in C$ 关于 $x$ 轴的对称点记为 $\widetilde{P}$。$C$ 在点 $P(x,y)(y \neq 0)$ 处的切线是指曲线 $y = \pm\sqrt{x^3 + ax + b}$ 在点 $P$ 处的切线。定义“$\oplus$”运算满足： ① 若 $P \in C$，$Q \in C$，且直线 $PQ$ 与 $C$ 有第三个交点 $R$，则 $P \oplus Q = \widetilde{R}$； ② 若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $PQ$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，则 $P \oplus Q = \widetilde{P}$； ③ 若 $P \in C$，规定 $P \oplus \widetilde{P} = 0^$，且 $P \oplus 0^ = 0^* \oplus P = P$。

（1）当 $4a^3 + 27b^2 = 0$ 时，讨论函数 $h(x) = x^3 + ax + b$ 零点的个数；

（2）已知“$\oplus$”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $PQ$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，证明：$P \oplus P = \widetilde{Q}$；

（3）已知 $P(x_1,y_1) \in C$，$Q(x_2,y_2) \in C$，且直线 $PQ$ 与 $C$ 有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标。