高考中的“齐次化”

序言

这篇文章，献给2020年底的我。

当时的我虽然对数学了解得很肤浅，但也凭借一定的认知加思考完成了一篇不错的关于不等式齐次化的文章，我依稀记得标题是《”次“——归零化与归一化的应用》，颇有意思，同学们评价干货满满，甚至有同学看完之后第二年直接把高联预赛一道小有难度的多元最值问题秒杀了。现在回忆起来，当时的书写是非常幼稚且不严谨的，加上这个寒假我做了不少其他类型的题目，有了更多的想法想一并收入这类思路，便整理出此文。

本文会围绕齐次化一个核心词，在不等式最值问题，含参不等式恒成立问题和圆锥曲线齐次化方法三个方面分别展开。

不等式最值问题

2020年的我还不知道怎么严谨地给一个多元多项式定义它的“次数”，而且当时也没有很好的大语言模型辅助，聪明的我采用类比+举例描述的方法笼统地给了一个多元多项式次数的定义。

n元多项式是指形如 $\sum_{k_1,k_2,\dots,k_n} a_{k_1k_2\ldots k_n} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$ 的表达式，其中指数 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 是非负整数，且只有有限个系数 $a_{k_1k_2\ldots k_n}$ 非零。该多项式的次数定义为所有单项式中各变量指数之和的最大值，即 $\max{k_1 + k_2 + \cdots + k_n \mid a_{k_1k_2\ldots k_n} \neq 0}$。（对于零多项式，将其次数定义为 $-\infty$，但我们的讨论用不到。）

定义了“次数”，才有相应的“齐次”这个概念。

我们不妨借用欧拉的考量，一个n元的k次齐次函数应该满足以下性质：

\[f(tx_1,tx_2,\cdots,tx_n) = t^k f(x_1,x_2,\cdots,x_n), \forall t\neq0\]

举几个例子便于理解：

• 对于一次齐次函数 $f(x,y) = ax + by$，我们有 $f(tx,ty) = t^1 ax + t^1 by = t^1 (ax + by) = t^1 f(x,y)$。
• 对于二次齐次函数 $f(x,y) = ax^2 + 2cxy+by^2$，我们有 $f(tx,ty) = t^2 ax^2 +2t^2cxy+ t^2 by^2 = t^2 (ax^2 +2cxy+ by^2) = t^2 f(x,y)$。

在进一步展开前，我们需要先针对高中数学提出两点重要的观察：

• 1. 高中只学过针对二元的基本不等式和重要不等式，这两个不等式两边如果单独作为多元多项式看，都是齐次的；
• 1. 除了不等式手段，高中想处理最值问题只能使用函数，而高中数学也只学过处理单变量函数的最值或切线不等式，函数不等式可以是非齐次的，甚至常见的都是含非多项式的初等函数诸如$e^x,lnx$的。

因此，回忆我们常见的使用基本不等式的情形：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

如果我们针对一个多项式，要使用齐次的不等式放缩，在不等式右侧得到一个最值，且这个最值是一个常数，常数就是一个0次的多项式——这意味着，不等式左侧应该也对应一个齐次的0次的多项式（函数）。

这里“0次”的定义最好是遵循齐次函数的表达，比如$f(a,b)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$,而有 \(f(ta,tb)=\frac{ta}{tb}+\frac{tb}{ta}=t^0f(a,b)\) 因此，$f(a,b)$是一个0次的2元齐次函数。

这带给我们的指引是：使用齐次不等式解最值问题前，要利用已知条件做两件事：1.齐次化；2. 归零化（即将目标式归为0次齐次函数），而这最常用的手段就是——“1的代换”

下面我们用一道高中题和一道预赛题辅助理解齐次归零化的思路：

高中题就用最简单的例子啦

例1. 已知正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值。

熟悉的同学很快就能反应出来在原式上用$a+b$代换”1”，再利用基本不等式即可。代入我上面所说的思路，其实这个过程是，本身代数式是一个-1次的2元齐次函数，通过乘上$1=a+b$这个2元1次齐次函数，将原始转化为一个0次的2元齐次函数，进而使用齐次的基本不等式即可。

当然，如果把目标代数式调整为一个-2次的齐次函数比如$\frac{1}{a^2} +\frac{1}{4ab}+ \frac{4}{b^2}$这种，在齐次归零化时就需要乘上$1=(a+b)^2$,这是自然的。

例2. 若正实数$x,y,z$满足$16xyz=(x+y)^2(x+z)^2$, 则$x+y+z$的最大值是____

这题就相对来说会进阶很多，但运用我们的齐次归零化思路会非常简单，首先利用条件$1=\frac{(x+y)^2(x+z)^2}{16xyz}$,等式右侧实际是一个1次的3元齐次函数，而待求最值的代数式是一个1次的3元齐次函数，为了归零化，我们选择1的代换方式为：

\[x+y+z=(x+y+z)\frac{16xyz}{(x+y)^2(x+z)^2}=\frac{16yz(x^2+yx+zx)}{(x^2+xy+yz+xz)^2}\]

实现齐次归零化之后，再利用基本不等式， \(\frac{16yz(x^2+yx+zx)}{(x^2+xy+yz+xz)^2}\leq \frac{16yz(x^2+yx+zx)}{(2\sqrt{(x^2+xy+xz)yz})^2}=4\)

这题就做完了，因此齐次归零化的确是求解不等式最值问题的一个很不错的思路。

Remark

我用很少的篇幅其实就完成了当年啰里啰嗦写了接近20页纸的数学小论文，这部分的内容几乎完美诠释了“1的代换”的本质和出发点。

但并不是说齐次化+归零化就解决了所有的这种代数式最值问题，如果目标代数式次数过高，或者形式比较复杂，完成齐次归零化后的代数结构可能会比较复杂，这后续的最值求解也是需要技巧的，比如第二道预赛题，虽然归零化后能得到一个0次齐次函数，但没接触过类似代数结构的不容易看出上下存在两个相同的表达式。

含参不等式恒成立问题和比值代换法

这一板块中我想简单聊聊齐次化对使用比值代换法的思路指引（但这里是essentially trivial的）。

会运用比值代换法常见的考点设立方式如下：含参不等式恒成立，极值点偏移，以及含参数的极值点偏移问题，往往题设会存在两个特征：需要处理双变量（甚至三变量）的不等式关系+存在双变量之间的代数关系（恒等式）

例3. 设函数$f(x)=x^3-x$, 正实数$a,b$满足$f(a)+f(b)=-2b$, 若$a^2+\lambda b^2 \leq 1$, 则实数$\lambda$的最大值为____

Sol：

题目条件给出了$a,b$的代数恒等式：

\[a^3-a+b^3+b=0\]

转化为”1“的代换形式：

\[1=\frac{a^3+b^3}{a-b}\]

注意这里构造等式时尽量把$a,b$两变量的地位保持一定的对称性（其实就是1的等式右侧构造成关于$a,b$的齐次函数，你会发现只有这一种构造方式【分子分母取倒我们认为是一样的】）

然后观察待处理的不等式，“从简”出发，要求$\lambda$的最大值，自然想到“分离变量”

\[\lambda \leq \frac{1-a^2}{b^2} \quad \forall a,b \quad s.t \quad a^3-a+b^3+b=0\]

将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，只是这里我们要处理的就是右侧的二元函数的最小值。

但是高中数学只会处理一元不等式啊！因此我们需要利用已知条件做“消元”，如果条件足够简单，可以写出一种显式的$a=g(b)$表达式，自然直接代入即可；但如果从条件出发没法得到$a,b$之间的显式函数关系，我们在这就能用到“比值代换法”——将二元函数转化为$t=\frac{a}{b}$的一元函数，进入高中最熟悉的函数最值求解。

而想把原先的代数式换元，其实就是一个齐次化的过程，观察”1”的代换右侧是一个2次齐次函数，待处理函数分式上下都是2次项，因此直接将1代入，后续的过程就是基本求导求极值算法了（要注意变量t的取值范围）。

其实如果直接将原先不等式右侧作1的代换就会使不等式两边都是关于$a,b$的2元2次齐次函数，因此两边同除$b^2$就能消元。

例4. 设函数$f(x)=lnx-ax (a\in \mathbf{R})$, 若函数$g(x)=xf(x)-x+a$有两个不同的极值点，记作$x_1,x_2$, 且$x_1<x_2$, 求证：$lnx_1+2lnx_2>3$

“极值点偏移”题型中采用“比值代换法”构造函数是常见的一种思路，我们这里用齐次归零化的思路再走一遍：

Sol：

题目条件存在恒等式：

\[g'(x_1)=g'(x_2)=0\]

即 \(lnx_1-2ax_1=lnx_2-2ax_2=0\)

当恒等式含对数时(如果是指数形式总能通过取对数的方式转化), 常见的一个代数形式是$lnx_2-lnx_1=ln\frac{x_2}{x_1}=lnt$, 其中$t=\frac{x_2}{x_1}$，这里$lnt$在我们齐次化$x_1,x_2$的过程中就可以直接视为无关项（常数）,因此，恒等式给出了“1的代换” \(1=\frac{lnx_2-lnx_1}{2a(x_1-x_2)}\)

等式右侧是一个关于$x_1,x_2$的-1次齐次函数，而待处理的目标式左侧可以利用等式关系化为1次的齐次函数： \(LHS=lnx_1+2lnx_2=2ax_1+4ax_2=2a(x_1+2x_2)\)

因此对不等式右侧作“1的代换”，得到齐次不等式：

\[2a(x_1+2x_2)>3=3*\frac{2a(x_1-x_2)}{lnx_2-lnx_1}\]

两边同除$x_1$,并令$t=\frac{x_2}{x_1}$即可得到常规的待求解的一元函数不等式问题。

例5. 已知函数$f(x)=ae^x-x^2$有两个极值点$x_1,x_2$,

(1)求$a$的取值范围

(2)若$x_2\geq 3x_1$时，不等式$x_1+\lambda x_2 \geq 2x_1x_2$ 恒成立，求$\lambda$的最小值.

这题是非常规的极值点偏移题型，但类似例3的含参不等式恒成立，只是我们这里先不分离变量地去考察不等式两边，左边是1次齐次函数，右边是2次齐次函数，因此我们需要利用条件的恒等式给左侧通过“1的代换”补1次；

条件中的恒等式应为：

\[ae^{x_1}=2x_1, ae^{x_2}=2x_2\]

可以消去参数$a$，得到$x_1,x_2$的恒等式：

\[e^{x_2-x_1}=\frac{x_2}{x_1}, i.e. \quad x_2-x_1=ln\frac{x_2}{x_1}\]

即得到“1的代换”

\[1=\frac{x_2-x_1}{ln\frac{x_2}{x_1}}\]

代入待处理不等式左侧的“1”，得到：

\[\frac{x_2-x_1}{ln\frac{x_2}{x_1}}(x_1+\lambda x_2) \geq 2x_1x_2\]

两边同除$x_1^2$, 并令$t=\frac{x_2}{x_1}\geq 3$，再分离变量把不等式恒成立问题转化为一元函数最值问题即可。

Remark

近期的经验告诉我——极值点偏移本质还是在研究极值点两侧的函数增长性（阶）不同，一边陡，一边缓，因此产生了两个交点会和极值点所在x直线的距离有差异，而出题人一般会采用两个零点的某种加权和或者积（经典的就是$\frac{x_1+x_2}{2},\sqrt{x_1x_2}$的算术平均和几何平均值同极值点比较）。

事实上，如果不拘泥于题目形式，极值点偏移中的“构造函数法”是研究函数两侧非对称性的一种好方法，在几何直观上，可以认为把其中一半作轴对称过去，比较两支的增长速度（利用原函数的单调性），

并且经典极值点偏移中的双变量不等式其实是一种对两点加权和的“对参数恒成立条件下”的最优估计（几何直观上能看到这个估计的不等式可以取等“=”，对应参数的一个极值），因此如果前一小问考到了极值点偏移$x_2+x_1>2a$(for example)，后一小问又要估计零点差$x_2-x_1$，可以将$x_2>2a-x_1$代入证明一个原命题的充分条件$2a-2x_1>…$。

【你可能看不太懂我这里想表达的意思，但这段内容不影响你解题，只是我个人的理解】

给一道样题

已知函数$f(x)=lnx-ax$.

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 若$x_1,x_2,(x_1< x_2)$是$f(x)$的两个零点. 证明：

\[(i) x_1+x_2>\frac{2}{a}; (ii) x_2-x_1>\frac{2\sqrt{1-ea}}{a}\]

圆锥曲线中的“齐次化”

这一板块中我想聊一聊圆锥曲线中有一种做法——“平移齐次化”中，以及其带来的代数方程如何理解。（感谢寒假给出详细思路和解答的yyx同学）

例6. 圆O: $x^2+y^2=4, P(\sqrt{2},\sqrt{2})$为圆上一点，过点P作两条直线$l_1,l_2$与圆分别交于E,F,$l_1,l_2$斜率分别为$k_1,k_2$，若$k_1+k_2=-1$, 求证：$l_{EF}$过定点

这里只是用圆做一个简单的例子，换任一个二次曲线是一样的。

适用问题：过二次曲线上一个定点，作两条直线，其斜率和/积 满足一定的代数关系，求证另两交点所在直线过定点。

为了简化问题，会使用一步平移将定点P移动到坐标原点：

\[x\to x-\sqrt{2}, y\to y-\sqrt{2}\]

这样的好处是原二次曲线的常数项归为0，圆方程化为：$x^2+y^2+2\sqrt{2}(x+y)=0$,后续齐次化时候可以少乘一个二次项。

下一步是设直线$EF$的方程：$mx+ny=1$, 然后作”1的代换“代入圆方程，使其化为2次齐次方程：

\[0=x^2+y^2+\sqrt{2}(x+y)(mx+ny)=(1+\sqrt{2}m)x^2+\sqrt{2}(m+n)xy+(1+\sqrt{2}n)y^2\]

我们来细看一下满足这个方程的是什么点，值得注意的是，对任一个齐次方程，如果一个非原点的点$(x_0,y_0)$满足方程，则该点与原点连线上任一点$(x,y)$也满足方程，这是因为齐次方程的性质。（请读者自己验算）

因此该二次齐次方程的解对应的其实会是至多两条交叉直线（退化的二次曲线）。而同时满足这一方程的点有两个点是显然的——点E和点F，因为其坐标同时满足直线方程和圆方程，所以直线PE和直线PF都会是该方程的解，如果这时我们对方程两边同除以$x^2$,并令过原点连线斜率$k=\frac{y}{x}$，得到关于k的二次方程：

\[0=(1+\sqrt{2}m)+\sqrt{2}(m+n)k+(1+\sqrt{2}n)k^2\]

该二次方程的两个实根其实就是$k_1,k_2$,由韦达定理：

\[k_1+k_2=-\frac{\sqrt{2}(m+n)}{1+\sqrt{2}n}, k_1k_2=\frac{1+\sqrt{2}m}{1+\sqrt{2}n}\]

所以，这里针对斜率和，斜率积的命题条件其实可以很多样，本质是通过条件给出直线EF的参数$m,n$的代数关系，从而直线EF过定点。事实上，若$k_1,k_2$满足如下形式方程：

\[A(k_1+k_2)+Bk_1k_2+C=0\]

即有直线EF是过定点的。（当然对系数A,B,C稍有要求，但作为高中生读者不需要知道，只需要知道这类形式可以导出过定点的结论）。

尾声

综上，我把我目前认识到的有关齐次化模型的解题思路展示如上，欢迎读者随时私信我补充。