基本观

中学函数被限制为$D\to \mathbb{R}$ 的映射$f$，通常研究的是连续可导的实值函数。函数的性质主要研究单调性、周期性、奇偶性、极值点和零点分布。但为了准确画出函数的一个二维图像$f(x)-x$，我们通常还需要函数的凹凸性以及在奇点——无定义点和无穷远处的极限取值。 留白讲解：

例题：

1. 已知函数$f(x)=\frac{(x-1)(2x+1)(x^2+ax+b)}{x^2}$，对任意非零实数x,均满足$f(x)=f(-\frac{1}{x})$,求f(-1)的值和f(x)的最小值。

11 若函数$f(x)=4

x-a

+3$在区间$[1,+\infty]$上不单调，则a的取值范围是

12 若函数$f(x)=x+\frac{4}{x},g(x)=2x+a,$ 若$\forall x_1 \in [\frac{1}{2},1], \exists x_2 \in [2,3],$使得$f(x_1)\geq g(x_2)$，则实数$a$的取值范围是

14 设$f(x)=x^3+ax^2 -2x(x \in \mathbb{R})$，其中常数$a \in \mathbb{R}$ （1） 判断函数$y=f(x)$的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式$f(x) > \frac{3}{2}x^3,$ 在区间$[\frac{1}{2},1]$上有解，求$a$的取值范围。

20 已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，$f(1)=f(3)=0$,且$f(x)$在$(0,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增，则不等式$\frac{f(x)}{2x-1}\leq 0$的解集为

24 $f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，若$f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x)$, 则$f(2024)=$

函数的对称性分析： （i) 关于点$(a,b)$中心对称 (ii) 关于直线$x=a$轴对称

例： 已知函数$y=f(x)$的图像既关于点$(1,1)$中心对称，又关于直线$x+y=0$轴对称。当$x\in(0,1)$时，$f(x)=log_2(x+1)$，则$f(log_210)$的值为

25 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且满足$f(x)=-f(2-x), f(x+2)$为偶函数，当$x\in [1,2]$时，$f(x)=ax^2+b$,若$f(0)+f(3)=6$，则$f(\frac{25}{3})=$

26 已知函数$f(x),g(x)$的定义域均为R, 且$f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.$ 若$y=g(x)$的图像关于直线$x=2$对称，$g(2)=4$，下列说法正确的是( ) A. $g(2+x)=g(2-x)$ B. $y=g(x)$图像关于点(3,6)对称 C. $f(2)=3$ D. $f(1)+f(2)+\cdots+f(26)=-28$

27 已知函数$f(x)$是偶函数，对任意$x\in\mathbb{R}$，均有$f(x)=f(x+2)$,当$x \in [0,1]$时，$f(x)=1-x$，则函数$g(x)=f(x)-log_5(x+1)$的零点有_____ 个？

30 已知定义在$(0,+\infty)$上的递增函数$f(x)$满足：对任意的$a,b \in (0,+\infty)$都有$f(ab)=f(a)+f(b)$，且$f(4)=2$，函数$g(x)$满足$g(x)+g(4-x)=-2, g(4-x)=g(x+2).$ 当$x \in [0,1]$时，$g(x)=f(x+1)-1$，若$g(x)$在$[0,m]$上取得最大值的点依次为$x_1,x_2,\cdots, x_k$，取得最小值的点依次为$x’1,x’_2,\cdots, x’_n$，若$\sum{i=1}^k [x_i+g(x_i)]+\sum_{i=1}^n [x’_i+g(x’_i)]=21$, 则m的取值范围是？

32 定义在实数域上的函数$f(x)$满足$f(3-x)=f(x+3)$，且当$x_2 >x_1 >3$时，$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$恒成立，设$a=f(2x^2-x+5),b=f(\frac{5}{2}), c=f(x^2+4),$， 则$a,b,c$的大小关系？

练习 7 已知函数$f(x)=\begin{cases} e^x+a & x<a \ x^2+2ax & x\geq a\end{cases}$, 若$f(x)$不存在最小值，则实数$a$的取值范围是

8 已知：对于任意的正数$x,y,z\leq 2\sqrt{xy},$， 若满足$x+y=1$，则$\frac{x^2+y^2+1}{xy}+\sqrt{5x^2+5y^2+z^2+10xy-3xz-3yz} \geq k$恒成立，则k的最大值是？

10 (多选)已知函数$f(x)$满足$f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|$，则( ) A. $f(0)=1$ B. $f(1)=-1$ C. $f(x)$是偶函数 D. $f(x)$是奇函数

11 （多选） 已知函数$f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1}$, 则下列结论正确的是( ) A. f(x)在定义域上是增函数 B. f(x)的值域是$\mathbb{R}$ C. $f(log_{2023}2024)+f(log_{2024}2023)=1$ D. 若$f(a)=\frac{e^b+1}{e^b-1}-b, a \in (0,1), b \in (0, +\infty)$, 则$ae^b=1$

14 对于函数$f(x)$，若在其图像上存在两点关于原点对称，则称$f(x)$为“倒戈函数”，设函数$f(x)=3^x+tanx-2m+1$是定义在$[-1,1]$上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是